高等数学的奇技淫巧

Common Sense

绝对值不等式

$画图理解$ $画图理解$

有理多项式

1. 方程的解

奇数次多项式必然有奇数个零点，至少有1个零点(无穷异号、零点定理)。

若有偶数个零点，多项式必然可以拆出偶数+奇数项，奇数项本身会带零点，因此，零点只能为奇数个。

2. 提取公因式

如：

三角函数

特别的，假如在[0,]积分令t=，上下限都是0无法得到结果，因此必须经过上述恒等变换来解决。

函数极限连续

无穷小性质：

  1 有限个无穷小的和仍是无穷小。

  2 有限个无穷小的积仍是无穷小。

  3 无穷小量和有界变量的积仍是无穷小。

无穷大量性质

  1 两个无穷大量的积仍为无穷大量。

  2 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

  3 无穷大量和非零常数的积仍为无穷大量。

注： 1 有限个无穷大量之和不一定为无穷大量。
2 无穷大量与有界变量之积不一定为无穷大量。如均不是无穷大。

函数放缩： $为多项之和，各项取绝对值再求和$

一元函数微分学

可积充分条件(满足任一即可)：

```
1 f(x)连续
```
```
2 f(x)具有有限个第一类间断点
```

可积,则连续。连续,则可导。
区分定义法下函数导数绝对值和绝对值函数导数：函数导数绝对值：函数绝对值导数：

一元函数积分学

左右闭区间可导可推左连续、右连续: >在[a,b]上可导，即
三角函数积分的万能公式将三角函数转换成有理函数计算，理论上能解出一切关于三角函数积分的变量代换公式，但是很多情况下反而使计算复杂。然而发现部分情况下有奇效(例如只在分母出现cosx和sinx的和项结合配方法容易得到答案)。

令,有：

三角函数定积分结论 cosx、sinx每一个0到1区间积分面积为1,0到0积分面积为2：

曲线放缩不影响积分结果：

[0,] 区间
sin函数前面积比后小：

曲线积分与曲面积分的计算

曲线积分

第一类曲线积分

可以用于描述不均匀线密度的曲线质量计算（或者以此为线密度的平面质量）计算

计算方法：根据曲线方程直角坐标系、极坐标系、或者参数方程，将ds表示成、或者,将函数表达式转化成对应坐标系的形式，积分区间无积分方向遵循从小到大计算。

空间曲线积分：将dS化成参数方程的dt

可能存在化简的情况：轴对称性、轮换对称性：只要积分函数可以凑成曲线方程、或者曲线方程满足的平面方程就可以直接代入，这是第一类曲线积分、第一类曲面积分都满足的特性。

第二类曲线积分

描述二维平面或者三维平面的变力做功大小。

计算方法： 1. 直接计算：根据曲线方程直角坐标系、极坐标系、参数方程等，计算dx、dy，带入函数直接计算，积分区间按照曲线起点到终点计算。

格林公式针对平面曲线的第二类曲线积分。曲线正向的定义：围成的闭合区域总在曲线的左手边的方向为正向。
闭合曲线积分可以转换成曲线围成闭合区域的二重积分计算。积分函数由格林公式确定。
斯托克斯公式针对空间曲线的第二类曲线积分。
曲线积分同时出现了dx、dy、dz或者曲线形式是空间形式，除了考虑将空间曲线dx、dy、dz考虑成参数方程形式化成dt计算，还可以考虑斯托克斯公式。
将空间曲线的曲线积分，转化成第二类曲面积分，曲面方向的正向与曲线遵循右手法则。积分函数由斯托克斯公式确定。